I am not going to sit here and let her insult me. I demand that she immediately _____ for what she just said.

答えを詳しく説明する:

上記の文でなぜ「 apologize 」が正しい答えなのかを説明するには、英語の要求や命令の文法構造を理解する必要があります。

あなたの元の文は次のとおりです。
「 I am not going to sit here and let her insult me. I demand that she immediately _____ for what she just said. 」

この文では、「 demand 」は要求を表す強い動詞であり、その後に入力する必要のあるclauseが続きます。 「 demand that 」というフレーズを使用する場合、「 that 」の後の動詞は「 to 」なしの不定詞形でなければなりません（ bare infinitive ）。

したがって、「 she immediately _____ for what she just said 」という文節は、動詞が不定詞である必要があります。より具体的に:

1. 「 apologize 」は動詞「謝る」の不定詞です。
2. 「 apologizing 」は現在分詞形 ( ving ) です。
3. 「 to apologize 」は「 to 」を伴うinfinitiveです。

具体的には、「 I demand that she ...」という構造が正しいです。

したがって、完全な文を形成するには、正しい答えは「 apologize 」です。
「 I demand that she immediately apologize for what she just said. 」